% \chapter{地震波的传播理论II:射线理论}
在前面的章节中，我们已经介绍了通过波动方程来求解地震波传播的规律。本章我们将考虑地震波传播的几何性质。值得一提的是，射线理论是高频地震波传播的近似（想一想，为什么？）。

\section{Snell定律和射线参数}
在上一章中，我们已经通过波动方程导出了地震波折射、反射的Snell定律：
\[\frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\]
由此我们可以定义\[p=\frac{\sin\theta}{v}=u\sin\theta\]
\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
    \draw [thick] (0,0) -- (6,0);
    \draw [thick] (0,2) -- (6,2);
    \draw [thick,->] (1,4) -- (2,2);
    \draw [thick,->] (2,2) -- (4,0);
    \draw (2,3.5) -- (2,1);
    \draw (4,1.5) -- (4,-0.5);
    \node (P) at (1.8,3) {$ \theta_1 $};
    \node (Q) at (3.8,1) {$ \theta_2 $};
    \draw (2,2) -- (2,2.5) arc (90:120:0.5);
    \draw (4,0) -- (4,0.5) arc (90:135:0.5);
    \end{tikzpicture}
    \caption{射线的入射角}
\end{figure}
对于同一地震射线，以及由它折射、反射产生的射线，对应的\textit{p}都是相同的。所以我们可以通过\textit{p}来区分不同的地震射线。\textit{p}就是所说的射线参数。这里的$ \theta $是射线传播的方向与竖直方向的夹角，\textit{v}是波速。我们定义了$ u=1/v $，\textit{v}为速度，那么$ u $可以称为“慢度”。可以看出，射线参数的物理意义是地震射线的水平慢度。

\section{分层平面模型}
最简单的模型是平行层状的底层，速度仅是深度的函数。\\
在某一点时，水平方向位移和竖直方向位移可以由几何关系得出：
\[\frac{\mrd x}{\mrd z}=\tan\theta=\frac{p}{\sqrt{u^2(z)-p^2}}\]
地震射线从震源出发，经传播后重新回到地面被台站接收。相应的台站到震源的距离为：
\[X(p)=2\int_{0}^{z_{tp}}\frac{p}{\sqrt{u^2(z)-p^2}}\mrd z=2p\int_{0}^{z_{tp}}\frac{1}{\sqrt{u^2(z)-p^2}}\mrd z\]
在某一点时传播需要的时间为：
\[\mrd t=u\mrd s=u\frac{\mrd z}{\cos\theta}=u\frac{u}{\sqrt{u^2-p^2}}\mrd z=\frac{u^2}{\sqrt{u^2-p^2}}\mrd z\]
所以从发震到台站接收到信号需要的时间为：
\[ T(p)=2\int_{0}^{z_{tp}}\frac{u^2(z)}{\sqrt{u^2(z)-p^2}}\mrd z \]
这样我们就得到了震中距和走时的表达式：\\
\begin{gather}
X(p)=2p\int_{0}^{z_{tp}}\frac{1}{\sqrt{u^2(z)-p^2}}\mrd z\\
T(p)=2\int_{0}^{z_{tp}}\frac{u^2(z)}{\sqrt{u^2(z)-p^2}}\mrd z
\end{gather}

\section{分层球模型}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
    \draw [very thick] (2.23607,0) arc(0:210:2.23607);
    \draw [very thick] (3.60555,0) arc(0:210:3.60555);
    \draw [thick,-latex] (-3,2) -- (-1,2);
    \draw [thick,-latex] (-5,2.6)--(-3,2);
    \draw [thick,dashed] (-1,2)--(1,2) (0,0)--(0,2) (0,0)--(-1.3,2.6) (0,0)--(-3.9,2.6);
    \node at (-4,2.5) {$ \theta_1 $};
    \node at (-2.2,1.8) {$ \theta'_2 $};
    \node at (-1.5,2.3) {$ \theta_2 $};
    \node at (0,1)[right]{$r_{min}$};
    \node at (-0.5,1)[left]{$ r_2 $};
    \node at (-1.5,1)[below]{$ r_1 $};
    \end{tikzpicture}
    \caption{球状模型的入射角关系}
\end{figure}
可以看出，第一次折射时由Snell定律得：
\[ \frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta'_2}{v_2} \]
而折射角和下一层的入射角的关系为
\[ r_{min}=r_2\sin\theta_2=r_1\sin\theta'_2 \]
由以上两式子可以得到
\[ \frac{r_1\sin\theta_1}{v_1}=\frac{r_2\sin\theta_2}{v_2}\Rightarrow r_1u_1\sin\theta_1=r_2u_2\sin\theta_2 \]
最后得到：
\[ p_{sph}=ur\sin\theta \]
由于射线路径为曲线，球面又是曲面，因此绝对的距离不能再直接相加。但转过的圆心角仍然具有可加性。因此我们求：
\[\frac{\mrd \Delta}{\mrd r}=\frac{\mrd x}{r\mrd r}=\frac{p_{sph}}{r\sqrt{u^2(z)-p^2_{sph}}}\]
震中距：
\[\Delta(p_{sph})=2p_{sph}\int_{r_{tp}}^{r_{E}}\frac{1}{\sqrt{r^2u^2(r)-p^2_{sph}}}\frac{\mrd r}{r}\]
走时：
\[T(p_{sph})=2\int_{r_{tp}}^{r_{E}}\frac{r^2u^2(r)}{\sqrt{r^2u^2(r)-p^2_{sph}}}\frac{\mrd r}{r}\]

\section{反演公式}
上一节我们推导了已知速度分布，求震中距和相应到时的公式。这节我们假设已知震中距和对应的到时，推导利用地震波走时反演速度结构的公式。\\
先来看震中距的公式\[X(p)=2p\int_{0}^{z_{tp}}\frac{\mrd z}{\sqrt{u^2-p^2}}\]
为了将其凑出(\ref{Abel Transform})的形式，我们将$ 2p $除到左边，右边将积分变量换为$ u^2 $
\[ \frac{X(p)}{2p}=\int_{u_0^2}^{p^2}\frac{\mrd z/\mrd (u^2)}{\sqrt{u^2-p^2}}d(u^2) \]
再作变换$ t=u_0^2-u^2,x=u_0^2-p^2 $，得
\[ \frac{X(\sqrt{u_0^2-x})}{2\sqrt{u_0^2-x}}=T(x)=\int_0^x\frac{\mrd z/\mrd t}{\sqrt{x-t}}\mrd t=\int_0^x\frac{f(t)}{\sqrt{x-t}}\mrd t \]
由附录中公式(\ref{re Abel Transform})很容易得到
\[ f(t)=\frac{1}{\pi}\frac{\mrd}{\mrd t}\int_0^t\frac{T(x)}{\sqrt{t-x}}\mrd x \]
也就是
\[ \frac{\mrd z}{\mrd t}=\frac{1}{\pi}\frac{\mrd}{\mrd t}\int_0^t\frac{X(\sqrt{u_0^2-x})}{2\sqrt{u_0^2-x}\sqrt{t-x}}\mrd x \]
重新将变量换回原来的形式，可以得到
\begin{equation}\label{eq:z-X int relation}
z=-\frac{1}{\pi}\int_{u_0}^{u}\frac{X(p)}{\sqrt{p^2-u^2}}\mrd p
\end{equation}
由于\[ \frac{\mrd p}{\sqrt{p^2-u^2}}=\frac{\mrd\left(\frac{p}{u}\right)}{\sqrt{\left(\frac{p}{u}\right)^2-1}}=\frac{\mrd t}{\sqrt{t^2-1}} \]
若令$ t=\cosh x $，则
\[ \frac{\mrd t}{\sqrt{t^2-1}}=\frac{\sinh x\mrd x}{\sinh x}=\mrd x \]
也就是说
\[ \mrd\left[\cosh^{-1}\left(\frac{p}{u}\right)\right]=\frac{\mrd p}{\sqrt{p^2-u^2}}\footnote{注意，这里的$ \cosh^{-1} $指的是$\cosh$的反函数} \]
代入(\ref{eq:z-X int relation})中应用分部积分，得
\begin{align*}
z&=-\frac{1}{\pi}\int_{p=u_0}^{p=u}X(p)\mrd\left[\cosh^{-1}\left( \frac{p}{u}\right) \right]\\
&=-\frac{1}{\pi}\left[X(p)\cosh^{-1}\left.\left(\frac{p}{u}\right)\right|_{p=u_0}^{p=u} -\int_{p=u_0}^{p=u}\cosh^{-1}\left(\frac{p}{u}\right)\mrd X(p) \right]\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{p=u_0}^{p=u}\cosh^{-1}\left(\frac{p}{u}\right)\mrd X(p)\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{X(u)}\cosh^{-1}\left(\frac{p}{u}\right)\mrd X
\end{align*}